TOMA LA PALABRA...

...Carlos Andrada

Aunque ya nos encontramos en el siglo XXI es bastante temerario hacer un balance de Hitos Matemáticos del siglo pasado. En primer lugar porque la perspectiva es aún escasa y, en segundo lugar y más importante, porque las propias características de las Matemáticas del siglo XX, marcadas por un desarrollo sin precedentes y una amplitud de temas extraordinaria, hace que sea muy difícil por no decir imposible la catalogación de los hitos fundamentales de la ciencia matemática.

Posiblemente este sea el primer y fundamental Hito: la constatación de la extraordinaria vitalidad y desarrollo de las Matemáticas. La producción matemática del siglo XX ha superado (en cuanto a extensión y posiblemente en cuanto a calidad) a la producción en toda la historia anterior. Por citar algunos datos: en la década de los 90 se han publicado una media de más de 50.000 trabajos anuales de investigación en matemáticas en las revistas especializadas del todo el mundo. El estereotipo de las matemáticas como una ciencia en la que todo está ya inventado no puede ser más falso. Y nunca está de más recordar que nuestro pais contribuye de una manera muy significativa a esta eclosión de productividad matemática: las publicaciones de autores españoles suponen mas de un 4% de la producción mundial, lo que nos coloca en noveno lugar del ranking internacional.

Junto a la cantidad de producción, el segundo hito es, sin duda, la diversidad de campos que ella abarca: a lo largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado áreas completamente nuevas, y los resultados matemáticos han impregnado prácticamente todas las parcelas de nuestra vida cotidiana. Como resultado, el desarrollo tecnológico y científico del siglo XX no ha tenido parangón en la historia de la humanidad. Conviene no perder de vista esta perspectiva: las matemáticas son la base, los rieles sobre los que caminan las ciencias y la tecnología; sin un desarrollo matemático no puede haber un desarrollo científico parejo y la historia está llena de ejemplos que muestran como sólo cuando la maquinaria matemática ha desarrollado los conceptos y técnicas adecuadas se han podido dar nuevas teorías y grandes pasos científicos. Citemos tres ejemplos típicos del siglo XX: la Teoría de la Relatividad de Einstein, imposible sin el desarrollo de la Geometría Diferencial "moderna", los estudios sobre computabilidad que de la mano de Von Neumann condujeron a la creación de los computadores, y los trabajos de Shannon sobre la Teoría Matemática de la Comunicación de los años 1948 y 50 que sentaron las bases de la Teoría de Códigos y por consiguiente de la moderna transmisión de datos.

Entre los campos que son un producto específico del siglo XX daré simplemente cuatro ejemplos que por lo tanto no pretenden ser, ni mucho menos exhaustivos de los avances de las Matemáticas. En primer lugar la Topología, es decir el estudio de las "formas" de las variedades, introducido por H. Poincaré a comienzos de siglo y que ha experimentado un desarrollo espectacular a lo largo del siglo de la mano de nombres como Serre, Milnor, Smale o Thurston. En segundo lugar, el manejo del azar, la probabilidad y el análisis estocástico son otra de las grandes creaciones del siglo pasado. Por supuesto que ya existían estudios sobre la Probabilidad desde la época de Fermat, Pascal e incluso antes, pero es en el siglo XX cuando a partir de la axiamatización del modelo probabilístico por Kolmogorov, y más tarde de la herramienta fundamental del análisis estocástico: la integral estocástica, por Kiyosi Itô cuando la disciplina toma vuelo hasta constituirse en una de las áreas más activas en la actualidad. Piénsese que prácticamente todos los fenómenos encierran una componente aleatoria, por lo que el análisis estocástico es imprescindible en ellos. En tercer lugar el estudio de los sistemas dinámicos y en particular de los fenómenos no lineales ha sido también uno de los las áreas de desarrollo espectacular en el siglo XX: en las ecuaciones que regulan la evolución un proceso concreto se observa que a menudo aparecen términos no lineales. Un ejemplo importantísimo son las ecuaciones de Navier-Stokes que regulan la dinámica de fluídos. La existencia de estos términos no lineales conduce a comportamientos caóticos que hoy sabemos que aparecen con muchísima frecuencia,porlo que el estudio de la estabilidad de las soluciones de unsistema dinámico es muy importante. Uno de los resultados más llamativos del siglo es el llamado teorema KAM (Kolmogorov, Arnold y Moser) de los años 60 relativo a la estabilidad de las órbitas del problema de los n cuerpos (por ejemplo el sistema solar) y que nos aporta cierta tranquilidad acerca de que nuestro planeta continuará en una órbita parecida (pero nunca igual) a la que ha venido teniendo desde su origen. Y para terminar no podemos olvidar los estudios sobre lógica, computabilidad y complejidad que impulsados por nombres como Turing, Gödel, Von Neumann, etc. han conducido a la creación del computador, el invento del siglo XX que está transformando radicalmente nuestra sociedad.

Terminemos, haciendo justicia al título del artículo, citando tres hitos matemáticos llamativos recientes. En primer lugar mencionaré un resultado no producido directamente por matemáticos pero que muestra una de las grandes áreas de aplicación de las matemáticas: me refiero a la Fórmula de Black-Scholes para la valoración del mercado de opciones, inventada en 1970 por Fischer Black, Myron Scholes y desarrollada también por Robert Merton por la que les fue concedida a estos últimos el premio Nobel de Economía en 1997 (desgraciadamente Black haabía fallecido en 1995). Se trata de una fórmula para la valoración "objetiva" de las opciones de compra de acciones , y es un magnífico ejemplo de aplicación del Análisis Estocástico, un producto específico de las matemáticas del siglo XX como ya hemos dicho.

En segundo lugar citaré la demostración del último Teorema de Fermat en 1994 por Andrew Wiles, uno de los resultados matemáticos que más impacto han tenido en la prensa y los medios de difusión en los últimos años y que resuelve un problema planteado por Pierre Fermat 350 años antes. Wiles demostró que, como Fermat conjeturó a mediados del siglo XVII, la ecuación xn+yn=zn no tiene soluciones enteras siempre que el exponente n sea mayor que 2 (en el caso n=2 hay infinitas soluciones que son las llamadas ternas pitagóricas: todos los posibles lados (con longitudes enteras) de triángulos rectángulos). La demostración de Wiles supone uno de los avances fundamentales en Teoría de Números del siglo y es una consecuencia de resultado mucho más general, la llamada Conjetura de Taniyama-Shimura que también ha sido demostrada en su totalidad en 1999 y que a su vez forma parte del llamado programa Langlands. Demuestra que a pesar de la diversificación de las matemáticas de las que hemos hablado repetidamente en estas líneas, los grandes descubrimientos necesitan aportaciones de muchas ramas distintas revelando la unidad profunda de la creación matemática.

Y para terminar mencionaremos la solución en 1998 por Thomas Hales del problema de empaquetamiento de Kepler y cuyo origen se remonta también a comienzos del siglo XVII. Hales ha demostrado que el empaquetamiento más denso posible de esferas iguales es la disposición cúbica centrada, es decir en capas rectangulares donde cada capa se desplaza para colocar las esferas sobre los intersticios dejados por la capa inferior, del modo que nuestros tenderos colocan las pilas de naranjas cada día en el mercado. Como hemos dicho, ya J. Kepler se ocupó del problema en 1611, calculando la densidad de este modelo de empaquetamiento (aproximadamente 0,7404) y Gauss demostró que era el mejor modo posible con estructura regular (es decir con los centros de las esferas formando una estructura regular), pero quedaba pendiente demostrar que es también el mejor de todos los posibles, aunque sean irregulares. La demostración de Hales usa de modo esencial el ordenador para la comprobación de un determinado número de casos, al igual que ocurrió unos años antes en 1976 con la demostración del Teorema de los Cuatro Colores por K. Appel y W. Haken. Esto evidencia también una de las características fundamentales de las matemáticas del siglo XX: la irrupción de los ordenadores está abriendo nuevas posibilidades para el desarrollo de las matemáticas, modificando incluso la misma forma de demostración de los teoremas.

En definitiva, las matemáticas están ahora mismo inmersas en un proceso febril de desarrollo. Como consecuencia del mismo parecen esporádicamente resultados y avances espectaculares como algunos de los que he comentado. Pero éstos no serían posible sin el trabajo, en muchos casos anónimo, de todos los matemáticos que contribuyen con sus modestos avances y con sus enseñanzas a alimentar el caudal del progreso de las Matemáticas.

Autor: Carlos Andradas | 2001