TOMA LA PALABRA...

... Manuel de León

Las matemáticas son probablemente la ciencia más antigua que ha creado la humanidad. Algunos dicen incluso que son más que una ciencia. Y se ha hablado a veces de ellas como la reina de las ciencias. Otros hablan de la irrazonable efectividad de las matemáticas. De todo ello se desprende que las matemáticas son muy apreciadas, o al menos, muy respetadas. Si esto es así, ¿por qué las matemáticas son tan poco visibles en nuestro mundo tecnológico?

Uno de los objetivos de la Unión Matemática Internacional al declarar el año 2000 como Año Mundial de las matemáticas era el destacar a las Matemáticas como claves para el desarrollo tecnológico de los países del Tercer Mundo. Y en esta tarea somos los propios matemáticos los que tenemos que tomar cartas en el asunto y explicar a la sociedad la importancia de nuestra ciencia. Es nuestra tarea pendiente que debemos abordar sin más dilaciones.

Intentaré en este artículo mostrar, a través de algunos ejemplos, como las matemáticas han estado presentes constantemente en las actividades humanas, sirviendo para la adquisición de nuevos conocimientos, y permitiendo a la vez el desarrollo de tecnologías cada vez más sofisticadas. No olvidemos el origen griego de la palabra matemáticas, mathemas, o sea, conocimiento.



Arquímedes y la ingeniería

El hombre siente pronto la necesidad de las matemáticas: necesita contar, medir, predecir las estaciones. Sobre todo, en cuanto se hace sedentario y agricultor. Las necesidades se van incrementando, necesita construir casas, puentes, canales, es decir, precisa de las tecnologías, de las ingenierías, de la arquitectura, y todas estas tecnologías y/o artes poseen un fuerte substrato matemático.

Las matemáticas se erigen en ciencia con los griegos. Ellos crearon el concepto de demostración (y por lo tanto, la lógica deductiva) y sistematizaron la geometría. Pero murieron de éxito. El concepto pitagórico de número, al no admitir la "imperfección" de los números irracionales colapsó el desarrollo de las matemáticas. A esta concepción pitagórica y platónica de las matemáticas se opone la figura de uno de los mayores genios de la humanidad, Arquímedes.

Arquímedes fue un excelente matemático, autor de maravillosas demostraciones matemáticas, usando conceptos que se podrían calificar de modernos. Pero a la vez fue lo que podríamos llamar el primer matemático aplicado de la historia. Contribuyó al nacimiento de la noción de fuerza, dedujo las leyes de la palanca y aportó a la Hidrostática el principio que lleva su nombre. Arquímedes es un excelente ejemplo de como las Matemáticas han contribuido al progreso.


Kepler, Galileo, Newton y la mecánica

La búsqueda de un modelo matemático que explicara el movimiento de los planetas condujo al nacimiento de la mecánica. Por una parte, Johannes Kepler enunció sus tres leyes que rigen este movimiento, poniendo de manifiesto que las elipses inventadas muchos siglos atrás por los griegos no eran objetos inútiles. Pero a la vez, Galileo Galilei ponía los cimientos de una nueva manera de abordar el estudio del universo. Ahí está su estudio experimental de la caída de los cuerpos, el invento del telescopio y los descubrimientos astronómicos consiguientes. Galileo es uno de los científicos que podríamos denominar modernos. Su frase "El universo está escrito en clave matemática" condensa perfectamente los argumentos de este artículo. Sin embargo, Galileo no consiguió obtener las ecuaciones de la dinámica, tarea reservada a Newton.

En efecto, los descubrimientos de Kepler y Galileo son sintetizados por uno de los gigantes de las matemáticas y de la física, Sir Isaac Newton. El punto culminante de los Principia Mathematica de Newton es la Ley de la Gravitación Universal. Todavía nuestros cohetes espaciales basan su movimiento en esta ley de enunciado tan elemental.


El nacimiento del cálculo infinitesimal: Leibniz y Newton

Se dice que el cálculo diferencial es probablemente una de las invenciones más productivas de la humanidad. Si hubiera sido patentado en su momento, habría hecho multimillonarios a Newton y a Leibniz. Ni Bill Gates hubiera podido competir con ellos. Ambos llegaron de modo independiente a los mismos resultados, y una agria disputa (recordemos la difícil personalidad de Newton) se mantuvo durante varios años. Al final, algo no tan inocente como la notación, condujo a que hoy utilicemos exactamente la misma formulación que Leibniz. De cualquier manera, el cálculo infinitesimal fue sin dudarlo el gran motor de los desarrollos científicos de los últimos tres siglos.


Radon y la tomografía axial computarizada, Navier y Stokes y los fluidos

Desde Newton, la mecánica ha sido la gran aliada de las matemáticas. No sólo la mecánica de partículas, también la mecánica de los medios continuos, que estudia sistemas con millones de puntos. La hipótesis matemática de continuidad, en clara contradicción con la naturaleza discreta de la materia, ha permitido desarrollar la Termodinámica y las leyes constitutivas de los medios continuos. Las aplicaciones del análisis llevadas a cabo por Fourier han arrojado luz sobre estos temas y permitido nuevas aplicaciones.

Pensemos por ejemplo en la tomografía axial computarizada, una tecnología con la que nos encontramos con cierta frecuencia en nuestra vida. La reconstrucción de imágenes tridimensionales a partir de secciones por medio de la transformada de Radon es un excelente ejemplo de aplicación del análisis de Fourier.

Los fluidos fueron estudiados ya por Newton. Euler descubrió las ecuaciones que rigen los fluidos perfectos, y más recientemente, Navier y Stokes establecieron las ecuaciones que rigen los fluidos "reales". Estas ecuaciones son, por ejemplo, las que se esconden tras las turbulencias que sentimos en un avión. La existencia y unicidad de soluciones regulares de las ecuaciones de Navier y Stokes se perfila como uno de los grandes problemas abiertos del siglo XXI.


Riemann y la teoría de la relatividad de Einstein

La geometría riemanniana, denominada así en honor de B. Riemann, se ocupa de estudiar las propiedades del espacio determinadas por la forma de medir distancias. Riemann introdujo los espacios de dimensiones arbitrarias, provistos de "instrumentos geométricos" para medir distancias, es decir, de métricas riemannianas.

Estos espacios son los que llevaron a Einstein al desarrollo de su Teoría General de la Relatividad, usando los resultados de Ricci, Levi-Civita, Lorenz y algunos otros geómetras de la época. Simplificando extraordinariamente, podríamos decir que la teoría de relatividad no es más que geometría. Esto no es así, hay además importantes principios físicos a ser considerados.


Von Neumann: la mecánica cuántica y los operadores

Además de la teoría de la relatividad, la otra gran revolución del siglo XX fue sin duda la mecánica cuántica. Fruto de la actividad de físicos como de Broglie, Heisenberg, etc. emergió un nuevo modo de ver lo más pequeño: la mecánica cuántica. Para su desarrollo, hicieron falta nuevos instrumentos matemáticos. Von Neumann desarrolló una teoría de operadores en espacios de Hilbert de una abstracción tremenda, pero era lo que se necesitaba. A la vez, Kolmogorov y Wiener avanzaron notablemente la teoría de probabilidades. Este es un ejemplo de ida y vuelta entre las matemáticas y la física.


S.S. Chern y Yang y Mills: la geometría y las partículas elementales

Otra de las extraordinarias interacciones de la geometría y la física la constituyen las teorías de gauge, o de Yang-Mills. Yang y Mills desarrollaron su teoría sin saber que estaban usando la teoría de conexiones en espacios fibrados desarrollada por matemáticos como Elie Cartan, Charles Ehresmann y S.S. Chern. Los potenciales gauge resultaban ser las formas locales de conexiones, y la fuerza no era más que la curvatura.

Cuenta Yang que al conocer a Chern muchos años después, le habló de su perplejidad de cómo los matemáticos, sin las ideas físicas, habían sido capaces de desarrollar aquellos conceptos. A esto, Chern se limitó a responderle: "No los hemos inventado, son reales, están ahí".


La predicción del clima

El caos determinista tan de moda hoy día, está ya presente en los trabajos de Henri Poincaré sobre mecánica celeste. El caos está ligado a una sensibilidad extrema a las condiciones iniciales. Es decir, en un sistema, un pequeño cambio de los datos de partida, provoca cambios enormes en la evolución del sistema. Este fenómeno se suele ilustar con la frase: "el movimiento de las alas de una mariposa en Brasil puede provocar un tornado en Tejas".

Esto ocurre en el clima. Para modelar el clima, usamos las ecuaciones de los fluidos. A fin de cuentas, los océanos y la atmósfera constituyen un gigantesco fluido en el que nos movemos. La posibilidad de predecir con más exactitud no sólo el clima sino también los cambios climáticos, va a depender mucho de la potencia de los ordenadores por una parte, y de un mejor entendimiento de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, por otra. Lo que no cabe duda es de la enorme importancia que las matemáticas tienen en este tema.


La inteligencia artificial

Hemos avanzado mucho en las últimas décadas en el conocimiento del funcionamiento de la inteligencia. Si conseguimos conocer como funciona nuestro cerebro, podremos construir máquinas eficientes que realicen tareas similares.

Sin embargo, a pesar del esfuerzo empleado, nos queda un océano de misterios para resolver. El cerebro sigue siendo un enigma, y no cabe duda que el siglo XXI verá avances espectaculares en este tema. Pero para ello harán falta una vez más matemáticas, quizás nuevas matemáticas, basadas en procesos estocásticos (la era de la estocasticidad, para fraseando a David Mumford). Unido a este problema está este otro planteado recientemente por otro gran matemático de nuestro siglo, Steven Smale: ¿cuáles son los límites de la inteligencia humana? Problemas apasionantes que ahí quedan para el siglo XXI.


Conclusiones

Problemas como el origen del universo, la constitución de la materia, el funcionamiento del cerebro, el desciframiento del genoma humano, la computación cuántica, necesitan y necesitarán más y más matemáticas. Seguramente, el siglo XXI verá avances tecnológicos asombrosos, pero acechan también peligros para la supervivencia de nuestro mundo. En el logro de los unos y la prevención de los otros, las matemáticas desempeñarán con toda certeza un papel crucial.

Autor: Manuel de León | 2000